Matemáticas alrededor de la tabla periódica
Matemáticas alrededor de la
tabla periódica
Este año se conmemora el 150 aniversario de la primera versión de
ordenamiento de los elementos químico planteada por el ruso Dmitri Mendeléyev
ANTONIO
CÓRDOBA
4 ENE
2019 - 11:01 CET
La Asamblea General de la ONU ha proclamado
2019 como el año internacional de la tabla periódica, para celebrar los 150
transcurridos desde que el químico ruso Dmitri Mendeléyev diera a conocer su
primera versión de la misma. Aquel ordenamiento de los elementos, según su
número de protones y sus afinidades químicas, resultó ser una herramienta muy
valiosa para explicar procesos químicos conocidos y anticipar nuevos
descubrimientos.
La tabla plantea muchas cuestiones básicas
cuya explicación matemática, de forma deductiva y rigurosa desde los primeros
principios, supone un enorme y fascinante desafío intelectual. Un ejemplo es la
propia noción de periodicidad en la ordenación de los elementos; otro son los
conceptos de valencia, orbital y energía de ionización, pero también el que
haya ciertos números especiales de electrones (2, 10, 18, 36, 54,… ) que
impiden a los gases nobles participar en ninguna reacción.
El modelo atómico introducido por Max Born y
Robert Oppenheimer está considerado como el más apropiado sobre el que
construir la teoría matemática de la tabla. Según esta aproximación, un átomo
consta de un núcleo (de carga Z), que podemos suponer en el origen de
coordenadas, y de Z electrones cuantizados que están descritos por la función
de ondas Ψ. Permitiéndonos la licencia de no tener en cuenta el “spin”, esta es
una función cuyo valor depende solamente de las posiciones de los electrones.
La energía del átomo viene dada por el hamiltoniano, H, en cuya expresión
aparece la constante de Planck, la masa del electrón, su carga y las
posiciones, que son vectores en el espacio tridimensional. H es suma de tres
términos distintos: uno representa la atracción electrostática protón-electrón;
otro la repulsión, también electrostática, electrón-electrón; mientras que el
tercero captura la energía cinética de los Z electrones.
La diferencia fundamental con las ecuaciones
que describen el modelo clásico es que el término correspondiente a la energía
cinética (un medio de la masa por el cuadrado de la velocidad) es reemplazado
por un operador diferencial de segundo orden en el modelo cuántico. Además,
valores observables como la posición, el momento cinético, o la energía, se
convierten en operadores sobre el espacio de las funciones de onda. Estas
funciones además tienen una interpretación probabilística: la integral del
cuadrado de su valor absoluto da la probabilidad de que el electrón se
encuentre en una región dada del espacio.
La tabla
periódica actualizada por la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada.
IUPAC
La tabla periódica actualizada por la Unión
Internacional de Química Pura y Aplicada. IUPAC
Pero mientras que en la mecánica clásica los
valores posibles de la energía son simplemente los valores del hamiltoniano,
que en esa teoría es una función definida en el espacio de las fases, en
mecánica cuántica los valores de la energía, obtenidos en las observaciones
espectroscópicas de la luz emitida por los átomos son, precisamente, las
cantidades E (llamadas autovalores) para las que la ecuación HΨ= EΨ tiene una
solución no nula.
En el caso de Z=1, que corresponde al átomo de
hidrógeno, conocemos los valores E (llamados números cuánticos) y también las
soluciones de la ecuación HΨ= EΨ. Por tanto, se dispone de un modelo matemático
muy completo que permite explicar satisfactoriamente las propiedades químicas
de este elemento.
Sin embargo, el caso Z >1 es mucho más
difícil y carecemos de soluciones explícitas. El espacio de las funciones de
ondas Ψ es mucho más complicado. Una de sus propiedades conocidas es que son
funciones de cuadrado integrable y antisimétricas; es decir, Ψ cambia de signo
cuando se intercambian las posiciones de dos electrones. Esta propiedad es
fundamental en la teoría y codifica el llamado principio de exclusión de Pauli,
que afirma que los electrones son partículas indistinguibles que obedecen a la
estadística de Fermi-Dirac (asociada a tiradas de dados indistinguibles).
El estado fundamental, es decir, el estado de
energía más bajo posible del átomo, viene descrito por su función de onda Ψ que
minimiza la energía, y se corresponde con el menor autovalor del hamiltoniano,
HΨ= E(Z)Ψ , en el espacio antes descrito de funciones de onda (que sabemos que
son antisimétricas y de cuadrado integrable). Conocer expresiones precisas para
el valor de esa energía E(Z) es un primer paso fundamental para entender
matemáticamente la periodicidad de la tabla.
Actualmente sabemos que E(Z) tiene un
desarrollo en serie, cuyos tres primeros términos son potencias del número de
electrones Z con exponentes decrecientes (7/3, 2 y 5/3), multiplicadas por unos
coeficientes bien determinados. El primero de los términos fue conjeturado por
Enrico Fermi en 1927 y demostrado rigurosamente por Elliott Lieb y Barry Simon
en 1977; el segundo propuesto por J.M.C Scott en 1950 y probado por Webster
Hughes en 1990; mientras que el tercero fue conjeturado por Julian Schwinger y
Paul Dirac y finalmente demostrado por Charles Fefferman y Luis Seco en el año
1991. Esos términos pueden ser deducidos con sencillas intuiciones físicas,
pero todos requieren complicados argumentos matemáticos para ser rigurosamente
demostrados.
El siguiente término de E(Z) es de naturaleza
más complicada (no es una potencia de Z) y tiene un carácter oscilatorio (suma
trigonométrica casi periódica), que le otorga un particular interés a la hora
de justificar matemáticamente la tabla periódica, y pudiera muy bien ser el
término de la energía aportada por los electrones de valencia. Algunos
resultados se han publicado al respecto, entre ellos, el que firma el autor
junto con Fefferman y Seco, donde establecimos una conexión de esta función con
una conjetura famosa de la teoría de los números (el llamado problema del círculo
y el retículo). De manera que pudimos utilizar las estimaciones de sumas
trigonométricas tan útiles en la teoría analítica de los números para avanzar
en el objetivo, todavía lejano, de vislumbrar la química desde el razonamiento
matemático más riguroso. El reto sigue abierto.
Antonio Córdoba es director del ICMAT y
catedrático de la Universidad Autónoma de Madrid
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